One version I found in a children's song book is this:
十二月花歌
正月梅花吐芳香，(plum)
二月兰花开正旺，(orchid)
三月桃花迎春风，(peach)
四月蔷薇出短墙，(wild rose)
五月石榴红似火，(pomegranate)
六月荷花满池塘，(lotus)
七月栀子头上戴，(zhī gardenia)
八月丹桂满枝黄，(orange osmanthus)
九月菊花初开放，(chrysanthemum)
十月芙蓉正上妆，(cotton rose)
十一月水仙吐新蕊，(narcissus)
十二月雪花白茫茫。(snowflakes - not a real flower here).

Another version found in a florist website gives
正月:梅花
二月:杏花 (Apricot)
三月:桃花
四月:蔷薇
五月:石榴花
六月:荷花
七月:凤仙花 (Balsam)
八月:桂花 (Sweet-scented osmanthus)
九月:菊花
十月:芙蓉花
十一月:山茶花 (Camellia)
十二月:梅花 (repeat of the first month)

It might be regional differences.

For example, one website gave the GuangXi (广西民歌) version as:
十二月花歌
正月里来桃花鲜，好比彩云满山间，
红罗包饭来等妹，桃花树下等妹连。

二月里来李花白，满树李花白绯绯， (plum)
哥娘生哥无缘分，摘花不到挨风吹。

三月桐树花正新，桐树花开春正浓， (Aleurites cordata)
哥等一夜不见妹，手攀桐花泪满襟。

四月金斗白西西，金斗花开我不知，
到处山头花谢了，哥骑母马来得迟。

五月南球花正绽，南球花发白银银，
哥想伸手摘几朵，满树花谢落纷纷。

六月里来六月里，六月芙蓉花正红，
口里衔来又怕烂，手里拿来又怕溶。

七月里来七月七，七月莲花开满塘，
摘朵莲花送给妹，但愿莲花千日香。

八月里来八月八，八月禾花满田香，
八月禾花爱细雨，情哥爱在妹妹旁。

九月菊花开满岭，朵朵金来朵朵银，
几时走到花岭上，拨开花瓣摘花心。

十月里来十月十，十月鸡公花正红，
摘朵给妹头上戴，但愿花儿千日红。

十一月来过了秋，梅花树上正含苞，
说知远寨姣娥妹，满树花开快来收。

十二月过又一年，山茶花开白连连，
摘朵山茶给妹戴，一心只等妹同年。


And a TaiZhou (JiangSu province) 泰州民谣 website's version gave:
十二月花歌
正月梅花带雪开，
二月茶花等月来，
三月桃花红似火，
四月蔷薇满架堆，
五月栀子白如霜，
六月荷花池塘，
七月菱花浮水面，(water chestnut)
八月桂花满园香，
九月菊花朵朵黄，
十月芙蓉赛海棠，
十一月里芦花白，(Phragmites communis - reed)
十二月里腊梅芳。(Chimonathus Praecox)